摘要 / Abstract

计算共形几何是现代数学与计算机科学交叉的学科，在课程设置上采用基础数学理论与计算机算法并重的路线。课程涵盖基础数学本科的代数拓扑、黎曼几何、黎曼面理论和微分几何课程。同时，为了解释计算方法，我们也介绍一些研究生水平的数学课程，包括调和映照理论、Teichmuller空间理论、曲面Ricci 流理论和三维流形的拓扑理论。近年来，依随AI的蓬勃发展，我们系统地介绍了凸微分几何中的Minkowski-Alexandrov理论，以及等价的Monge-Kantorovich-Brenier最优传输理论。

“计算共形几何”课程介绍新发展起来的理论和算法。在代数拓扑中，我们介绍了同伦群、单纯同调群、持续同调群的计算方法；在黎曼几何中，我们介绍了霍奇分解算法，调和微分de Rham上同调群的算法，曲面间调和映射的算法，测地线的算法；在凸微分几何中，我们介绍了从高斯曲率重建凸曲面的Minkowski问题的解法，根据高斯曲率重建开放凸曲面的Alexandrov问题的解法，反射镜面、透射镜面设计问题的解法，这些算法等价于最优传输问题的解法；在黎曼面理论中，核心是两类算法：一类是基于单值化定理的离散曲面Ricci流算法。这类算法是迄今为止唯一的能够通过目标高斯曲率得到黎曼度量的算法，而绝大多数工程几何问题，最终都归结为求取某个具有特殊性质的黎曼度量问题；另外一类算法是基于Abel-Jacobi理论的计算Abel微分的方法：各种共形映射、共形不变量的计算最终归为全纯一形式的计算；曲面上的各种叶状结构都归结为全纯二次微分的计算；曲面上的各种实射影结构归结为全纯三次微分的计算；曲面上的四边形网格归结为黎曼面上的亚纯四次微分的计算。我们将这些主要的算法布置成家庭作业，让同学们通过C++编程深化对理论的理解，同时增强处理实际几何问题的工程能力。

课程要求同学们具有多元微积分、线性代数、初等抽象代数的基础；最好具备C++编程能力，熟悉OpenGL。

主讲人简介 / About the Speaker

顾险峰

美国纽约州立大学石溪分校

顾险峰，美国纽约州立大学石溪分校帝国创新教授。本科毕业于清华大学获计算机科学学士，在哈佛大学获得计算机科学博士，师从国际著名微分几何大师丘成桐院士。顾博士与丘成桐院士共同创立了跨领域学科”计算共形几何“，将现代数学与计算机科学相结合，广泛应用于计算机图形学、计算机视觉、计算机辅助几何设计，网络，人工智能以及医学图像等领域。